Олимпиадная задача по планиметрии: расстояния до вершин прямоугольника
Задача
Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника.
Решение
Первый способ.
Пусть M — произвольная точка плоскости, ABCD —
прямоугольник. Обозначим через x, y, z и t — расстояния от точки
M до прямых AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда
MA2 + MC2 = (x2 + t2) + (y2 + z2) =
= (x2 + y2) + (t2 + z2) = MB2 + MD2.
Второй способ.
Введём декартову прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину
A прямоугольника ABCD, а оси координат направим по лучам AB и AD. Пусть
AB = a, AD = b. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:
A(0;0), B(a;0), C(a;b), D(0;b).
Пусть M(x;y) — произвольная точка плоскости. По формуле для квадрата расстояние
между двумя точками
MA2 + MC2 = $\displaystyle \left(\vphantom{x^{2}+y^{2}}\right.$x2 + y2$\displaystyle \left.\vphantom{x^{2}+y^{2}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\right.$(x - a)2 + (y - b)2$\displaystyle \left.\vphantom{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\right)$,
MB2 + MD2 = $\displaystyle \left(\vphantom{(x-a)^{2}+y^{2}}\right.$(x - a)2 + y2$\displaystyle \left.\vphantom{(x-a)^{2}+y^{2}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{x^{2}+(y-b)^{2}}\right.$x2 + (y - b)2$\displaystyle \left.\vphantom{x^{2}+(y-b)^{2}}\right)$.
Из полученных равенств следует, что
MA2 + MC2 = MB2 + MD2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет