Задача
Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен 60o. Докажите, что треугольник — прямоугольный.
Решение
Первый способ.
Пусть указанные стороны равны a и 2a. Тогда по теореме
косинусов квадрат третьей стороны равен
a2 + 4a2 - 2a . 2a . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 3a2.
Пусть$\alpha$— угол данного треугольника, лежащий против стороны,
равной 2a. Тогда по теореме косинусов
cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a^{2} + 3a^{2} - 4a^{2}}{2a\cdot a\sqrt{3}}}$ = 0.
Следовательно,$\alpha$= 90o.
Второй способ.
Пусть угол между сторонами BC = a и AB = 2a треугольника ABC равен
60o.
Опустим перпендикуляр AC1 из вершины A на прямую BC. Из прямоугольного
треугольника ABC1 с углом
30o при вершине A находим, что
BC1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = BC.
Значит, точкаC1совпадает с точкойC. Следовательно,$\angle$ACB= 90o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет