Задачи и олимпиады по математике

Задача

Точка D расположена на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что AB^{2 .}DC + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC = BC^.DC^.BD.

Решение

По теореме косинусов находим косинус угла B сначала из треугольника ABC, а затем — из треугольника ABD:

cos$\displaystyle \angle$B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2AB\cdot BC}}$, cos$\displaystyle \angle$B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BD^{2} - AD^{2}}{2AB\cdot BD}}$.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BD^{2} - AD^{2}}{BD}}$ $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ AB^{2 .}BD + BC^{2 .}BD - AC^{2 .}BD = AB^{2 .}BC + BD^{2 .}BC - AD^{2 .}BC $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BC^{2 .}BD - BD^{2 .}BC = AB^{2 .}BC - AD^{2 .}BC + AC^{2 .}BD - AB^{2 .}BD $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BD^.BC^.(BC - BD) = (AB^{2 .}BC - AB^{2 .}BD) + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BD^.BC^.DC = AB^{2 .}(BC - BD) + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ BD^.BC^.DC = AB^{2 .}DC + AC^{2 .}BD - AD^{2 .}BC.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления