Задача
Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр. Докажите, что S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
Решение
Первый способ.
Пусть CD = h — высота треугольника ABC, в котором BC = a, AC = b,
AB = c. Предположим, что точка D лежит на стороне AB. Обозначим
BD = x. Тогда
AD = c - x. Отрезок CD — общий катет прямоугольных
треугольников BCD и ACD, поэтому
BC2 - BD2 = AC2 - AD2, или a2 - x2 = b2 - (c - x)2,
откуда
x = $\displaystyle {\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2c}}$.
Значит,
S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ch = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c$\displaystyle \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{a^{2}c^{2} - c^{2}x^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{(ac-cx)(ac+cx)}$ =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(2ac - a^{2} - c^{2} + b^{2})(2ac + a^{2} + c^{2} - b^{2})}$ =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(b^{2} - (a - c)^{2}))(a + c)^{2} - b^{2})}$ =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + c + b)}$ =
= $\displaystyle \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{b+c-a}{2}\cdot
\frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2}}$ =
= $\displaystyle \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
Аналогично для случая, когда точка D лежит на продолжении
стороны AB.
Второй способ.
Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а угол,
противолежащий стороне a, равен $\alpha$. По теореме косинусов находим,
что
cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}}$.
Тогда
S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bc sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bc$\displaystyle \sqrt{1 - \cos ^{2}\alpha}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bc$\displaystyle \sqrt{1 - \left(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\right)^{2}}$ =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{4b^{2}c^{2}- (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(2bc - b^{2} - c^{2} + a^{2})(2bc + b^{2} + c^{2} - a^{2})}$ =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(a^{2} - (b - c)^{2}))(b + c)^{2} - a^{2})}$ =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}$ =
= $\displaystyle \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{b+c-a}{2}\cdot
\frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2}}$ =
= $\displaystyle \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет