Математическая задача по планиметрии: перпендикулярные медианы треугол
Задача
В треугольнике ABC медианы AM и CL перпендикулярны, BC = a, AC = b. Найдите площадь треугольника ABM.
Решение
Пусть медианы AM и CL пересекаются в точке O. Обозначим OM = x, OL = y. Тогда по теореме о медианах AO = 2x, CO = 2y. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AOC и COM находим, что
4x2 + 4y2 = b2 и x2 + 4y2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$a2.
Из полученной системы уравнений находим, что
x2 = $\displaystyle {\frac{4b^{2} - a^{2}}{12}}$, y2 = $\displaystyle {\frac{a^{2} - b^{2}}{12}}$.
Известно, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих
треугольников, поэтому
S$\scriptstyle \Delta$ABM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . 6 . S$\scriptstyle \Delta$COM = 3 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OM . OC =
= 3 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . x . 2y = 3xy = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \sqrt{(4b^{2} - a^{2})(a^{2} - b^{2})}$.
Ответ
${\frac{1}{4}}$$\sqrt{(4b^{2} - a^{2})(a^{2} - b^{2})}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет