Задача
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Решение
Первый способ.
Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD
четырёхугольника ABCD. Обозначим AM = x, BM = y, CM = z, DM = t,
$\angle$AMB = $\alpha$. Тогда
SABCD = S$\scriptstyle \Delta$AMB + S$\scriptstyle \Delta$BMC + S$\scriptstyle \Delta$CMD + S$\scriptstyle \Delta$AMD =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$xy sin$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$yz sin(180o - $\displaystyle \alpha$) + + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$zt sin$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$xt sin(180o - $\displaystyle \alpha$) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(xy + yz + zt + xt)sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(x + z)(y + t)sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . BD sin$\displaystyle \alpha$.
Второй способ.
Через каждую из двух противоположных вершин четырёхугольника проведём прямые,
параллельные диагонали, соединяющей две другие вершины. То же проделаем для двух
других вершин. Получим параллелограмм, стороны которого равны диагоналям данного
четырёхугольника. Угол между соседними сторонами полученного параллелограмма
равен углу между диагоналями данного четырёхугольника, а площадь вдвое больше.
Поскольку площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон
на синус угла между ними, то площадь данного четырёхугольника равна половине
произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет