Задание по олимпиадной математике: точки P, Q, R и четырёхугольник PQS
Задача
Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что
AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?
Решение
Проведём через вершину A прямую, параллельную BC, и продолжим BR до пересечения с этой прямой в точке K. Из подобия треугольников ARK и CRB находим, что AK = ½ BC = BQ. Значит, треугольники ASK и QSB равны. Из подобия треугольников ATK и PTB – AT : TP = AK : BP = 3 : 1.
Поэтому SPQST = SAPQ – SATS = SAPQ – AS/AQ·AT/AP SAPQ = SAPQ(1 – ¾·½) = 5/8 SAPQ = 5/8·1/3·SABC = 5/24 SABC.
Ответ
5 : 24.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь