Назад

Олимпиадная задача о шестиугольнике и высотах в треугольнике

Задача 155139 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.

Авторы:
Адамов А. А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение

Пусть A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC, AB остроугольного треугольника ABC; пусть также перпендикуляры, опущенные из точки C1 на AC и из точки B1 на AB, пересекаются в точке M; из точки C1 на BC и из точки A1 на AB — в точке N; из точки A1 на AC и из точки B1 на BC — в точке K. Тогда M, N, K — точки пересечения высот треугольников AB1C1, BA1C1, CA1B1 соответственно.

Треугольник C1MB1 равен треугольнику BNA1, а треугольник

A1KB1 — треугольнику BNC1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Следовательно,

SA1KB1MC1N = S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1NC1 + S$\scriptstyle \Delta$C1MB1 + S$\scriptstyle \Delta$A1KB1 =
= S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1NC1 + S$\scriptstyle \Delta$BNA1 + S$\scriptstyle \Delta$BNC1 =
= S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 + S$\scriptstyle \Delta$A1BC1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$ABC.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет