Олимпиадная задача по планиметрии: сумма расстояний и периметр треугол
Задача
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
Решение
Пусть M — точка, лежащая внутри треугольника ABC. Докажем, что
MB + MC < AB + AC.
Для этого продолжимBMдо пересечения со сторонойACв
точкеNи применим неравенство треугольника к треугольникамABNиMNC.
Аналогично докажем, что
MB + MA < AC + BCи MA + MC < AB + BC.
Cложив почленно три неравенства, получим, что
2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + AC).
Отсюда следует нужное неравенство.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет