Олимпиадная задача: сумма расстояний от точки до вершин треугольника
Задача
Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин больше половины периметра.
Решение
Пусть d1, d2, d3 — расстояния от точки M, взятой внутри треугольника со сторонами a, b, c, до вершин этого треугольника. Тогда
d1 + d2 > c, d1 + d3 > b, d2 + d3 > a.
Сложив почленно эти три неравенства, получим, что
2(d1 + d2 + d3) > a + b + c.
Отсюда следует, что
d1 + d2 + d3 > $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет