Задача
Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно ${\frac{3}{4}}$.
Решение
Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Если m — медиана, проведённая к стороне a, то
m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2b2 + 2c2 - a2).
Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей
параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом
треугольник до параллелограмма). Аналогично для квадратов
остальных двух медиан.
Сложив три полученных равенства, получим требуемый
результат.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет