Точка P в треугольнике ABC — олимпиадная задача Ягубьянца
Задача
Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём
$\angle$APB = $\angle$ACB + 60o, $\angle$BPC = $\angle$BAC + 60o,
$\angle$CPA = $\angle$CBA + 60o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.
Решение
Пусть A1, B1 и C1 — точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC,$\angle$BAC = $\alpha$. Тогда $\angle$BPC = $\alpha$ + 60o.
С другой стороны,
$\displaystyle \angle$BPC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$( $\displaystyle \cup$ CA1B + $\displaystyle \cup$ B1AC1) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(2$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \cup$ B1AC1).
Из уравнения
$\displaystyle \alpha$ + 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(2$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \cup$ B1AC1)
находим, что$\cup$B1AC1= 120o. Следовательно,$\angle$B1A1C1= 60o.
Аналогично$\angle$A1B1C1= 60o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет