Олимпиадная задача Ягубьянца А. про окружности α, β, γ, δ в треугольни
Задача
Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса, причём каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$. Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника.
Решение
Пусть ABC — данный треугольник; O1, O2, O3, O4 -- центры равных окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ соответственно; x — радиус этих окружностей. Докажем, что треугольник
O1O2O3 гомотетичен треугольнику ABC.
Действительно, стороны треугольника O1O2O3 соответственно параллельны сторонам треугольника ABC. При гомотетии с центром в точке N, центре вписанной окружности треугольника O1O2O3 (и треугольника ABC), и коэффициентом, равным отношению расстояний от точки N до прямых BC и O2O3, треугольник O1O2O3 перейдёт в треугольник ABC.
При этой гомотетии центр O4 описанной окружности треугольника
O1O2O3 ( O4O1 = O4O2 = O4O3 = 2x) перейдёт в центр O описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, точки N, O4 и O лежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь