Задание олимпиады по математике: квадрат ABCD и треугольник APQ
Задача
Сторона квадрата ABCD равна 1. На сторонах AB и AD выбраны точки P и Q, причём периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что $\angle$PCQ = 45o.
Решение
Первый способ.
Пусть вневписанная окружность треугольника APQ касается
гипотенузы PQ в точке F, а продолжений катетов AP и AQ
-- в точках X и Y соответственно (рис.1). Тогда
AX + AY = AP + PX + AQ + QY = AP + PF + AQ + QF =
= AP + AQ + (PF + QF) = AP + AQ + PQ = 2,
а т.к.AX=AY, тоAX=ABиAY=AD, т.е. точкаXсовпадает с
точкойB, а точкаY— с точкойD. ПоэтомуC— центр
окружности. Следовательно,
$\displaystyle \angle$PCQ = 90o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAC = 90o - 45o = 45o.
Второй способ.
Пусть M — образ точки D при повороте на
90o по часовой
стрелке вокруг точки C (рис.2). Тогда точка M лежит на прямой AB.
Поскольку
PM = PB + BM = PB + DQ = 2 - AP - AQ = PQ,
то треугольникиCPMиCPQравны по трём сторонам, а т.к.$\angle$QCM= 90o, то$\angle$PCQ=$\angle$PCM= 45o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет