Задача
а) На сторонахABиACтреугольникаABCвнешним образом построены прямоугольные треугольникиABC1иAB1C, причём ∠C1= ∠B1= 90°, ∠ABC1= ∠ACB1= φ, M– серединаBC. Докажите, что MB1=MC1и ∠B1MC1= 2φ.б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.
Решение
а) Пусть P и Q – середины сторон AB и AC. Тогда MP = AC/2 = QB1, MQ = AB/2 = PC1. Если точки A и P находятся по одну сторону от прямой MC1, то
∠C1PM = ∠C1PB + ∠BPM = ∠B1QC + ∠CQM = ∠B1QM. Следовательно, треугольники MQB1 и C1PM равны, а значит, MC1 = MB1. Кроме того,
∠PMC1 + ∠QMB1 = ∠QB1M + ∠QMB1 = 180° – ∠MQB1, а ∠MQB1 = ∠A + ∠CQB1 = ∠A + (180° – 2φ). Следовательно, ∠B1MC1 = ∠PMQ + 2φ – ∠A = 2φ.
Случай, когда точки A и P находятся по разные стороны от прямой MC1, разбирается аналогично. б) Возьмём на сторонах AB и AC такие точки B' и C', что AB' : AB = AC' : AC = 2 : 3. Середина M отрезка B'C' совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC. Построим на сторонах AB' и AC' внешним образом прямоугольные треугольники AB'C1 и AB 1C' с углом φ = 60°. Тогда B1 и C1 – центры правильных треугольников, построенных на сторонах AB и AC. С другой стороны, согласно а) MB1 = MC1 и ∠ B1MC1 = 120°.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь