Задача
а) Продолжение биссектрисы угла Bтреугольника ABCпересекает описанную окружность в точке M;O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A,C,Oи Obлежат на окружности с центром M. б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO,BOи COпроходят через центры описанных окружностей треугольников BCO,ACOи ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
а) Так как$\angle$AOM=$\angle$BAO+$\angle$ABO= ($\angle$A+$\angle$B)/2 и$\angle$OAM=$\angle$OAC+$\angle$CAM=$\angle$A/2 +$\angle$CBM= ($\angle$A+$\angle$B)/2, то MA=MO. Аналогично MC=MO. Так как треугольник OAObпрямоугольный и $\angle$AOM=$\angle$MAO=$\varphi$, то $\angle$MAOb=$\angle$MObA= 90o-$\varphi$, а значит, MA=MOb. Аналогично MC=MOb. б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда $\angle$COP= (180o-$\angle$CPO)/2 = 90o-$\angle$OAC. Поэтому $\angle$BOC= 90o+$\angle$OAC. Аналогично $\angle$BOC= 90o+$\angle$OAB, а значит, $\angle$OAB=$\angle$OAC. Аналогично доказывается, что точка Oлежит на биссектрисах углов Bи C.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь