Задача
Прямоугольный треугольникABCс прямым угломAдвижется так, что его вершиныBиCскользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точекAявляется отрезок и найдите его длину.
Решение
ПустьO— вершина данного прямого угла. ТочкиOиAлежат на окружности с диаметромBC, поэтому$\angle$AOB=$\angle$ACB=$\angle$C. Из этого следует, что точкаAдвижется по прямой, образующей со стороной данного прямого угла угол, равный$\angle$C. В крайних положениях расстояния от точкиAдо точкиOравны гипотенузеBCи наименьшему катетуBA. Действительно,OA=BCsin$\varphi$, где$\varphi$=$\angle$OCA. Угол$\varphi$изменяется от$\angle$Cдо90o+$\angle$C= 180o-$\angle$B, поэтому наибольшее значениеsin$\varphi$равно 1, а наименьшее значение равно наименьшему из чисел sin Cи sin B. Таким образом, длина отрезка, по которому движется точкаA, равна разности между длиной гипотенузы и длиной наименьшего катета прямоугольного треугольникаABC.
Замечание 1.Аналогичное утверждение верно для любого треугольника ABC, вершины которого скользят по сторонам угла MON, равного 180o-$\angle$A.
Замечание 2.В случае, когда уголAне прямой, вершинаAдвижется по эллипсу (задача 31-ellCos1).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь