Задача
На окружности взяты точки A,C1,B,A1,C,B1в указанном порядке. а) Докажите, что если прямые AA1,BB1и CC1являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A1B1C1. б) Докажите, что если прямые AA1,BB1и CC1являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1.
Решение
а) Докажем, например, что AA1$\perp$C1B1. Пусть M — точка пересечения этих отрезков. Тогда $\angle$AMB1= ($\smile$AB1+$\smile$A1B+$\smile$BC1)/2 =$\angle$ABB1+$\angle$A1AB+$\angle$BCC1= ($\angle$B+$\angle$A+$\angle$C)/2 = 90o. б) Пусть M1и M2 — точки пересечения отрезков AA1и BC,BB1и AC. Прямоугольные треугольники AM1Cи BM2Cимеют общий угол C, поэтому $\angle$B1BC=$\angle$A1AC, а значит, $\smile$B1C=$\smile$A1Cи $\angle$B1C1C=$\angle$A1C1C, т. е. CC1 — биссектриса угла A1C1B1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь