Задача
Через точку Oпересечения биссектрис треугольника ABCпроведена прямая MNперпендикулярно CO, причем Mи Nлежат на сторонах ACи BCсоответственно. Прямые AOи BOпересекают описанную окружность треугольника ABCв точках A'и B'. Докажите, что точка пересечения прямых A'Nи B'Mлежит на описанной окружности.
Решение
Пусть PQ — диаметр, перпендикулярный AB, причем Qи Cлежат по одну сторону от AB; L — точка пересечения прямой QOс описанной окружностью; M'и N' — точки пересечения прямых LB'и LA'со сторонами ACи BC. Достаточно проверить, что M'=Mи N'=N. Так как $\smile$PA+$\smile$AB'+$\smile$B'Q= 180o, то $\smile$B'Q=$\angle$A, а значит, $\angle$B'LQ=$\angle$M'AO. Следовательно, четырехугольник AM'OLвписанный и $\angle$M'OA=$\angle$M'LA=$\angle$B/2. Поэтому $\angle$CMO= ($\angle$A+$\angle$B)/2, т. е. M'=M. Аналогично N'=N.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь