Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Стороны угла с вершиной Cкасаются окружности в точках Aи B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁,PB₁и PC₁на прямые BC,CAи AB. Докажите, что PC₁²=PA₁^.PB₁иPA₁:PB₁=PB²:PA². б) Из произвольной точки Oвписанной окружности треугольника ABCопущены перпендикуляры OA',OB',OC'на стороны треугольника ABCи перпендикуляры OA'',OB'',OC''на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OA'^.OB'^.OC'=OA''^.OB''^.OC''.

Решение

a) $\angle$PBA₁=$\angle$PAC₁и $\angle$PBC₁=$\angle$PAB₁, поэтому прямоугольные треугольники PBA₁и PAC₁, PAB₁и PBC₁подобны, т. е. PA₁:PB=PC₁:PA,PB₁:PA=PC₁:PB. Перемножив эти равенства, получим PA₁^.PB₁=PC₁², а поделив их, получимPA₁:PB₁=PB²:PA². б) Согласно а) OA''= $\sqrt{OB'\cdot OC'}$ ,OB''= $\sqrt{OA'\cdot OC'}$ ,OC''= $\sqrt{OA'\cdot OB'}$ . Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления