Задача
Внутри выпуклого четырехугольника ABCDсуществует такая точка O, что площади треугольников OAB,OBC,OCDи ODAравны. Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.
Решение
Пусть Eи F — середины диагоналей ACи BD. Так как SAOB=SAOD, точка Oлежит на прямой AF. Аналогично точка Oлежит на прямой CF. Предположим, что точка пересечения диагоналей не является серединой ни одной из них. Тогда прямые AFи CFимеют единственную общую точку F, поэтому O=F. Аналогично доказывается, что O=E. Получено противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет