Задача
Продолжения сторон ADи BCвыпуклого четырехугольника ABCDпересекаются в точке O; Mи N — середины сторон ABи CD, Pи Q — середины диагоналей ACи BD. Докажите, что: а) SPMQN= |SABD-SACD|/2; б) SOPQ=SABCD/4.
Решение
а) Площадь параллелограмма PMQNравна BC . ADsin$\alpha$/4, где $\alpha$ — угол между прямыми ADи BC. Высоты треугольников ABDи ACD, опущенные из вершин Bи C, равны OBsin$\alpha$и OCsin$\alpha$, поэтому |SABD-SACD| = |OB-OC| . ADsin$\alpha$/2 =BC . ADsin$\alpha$/2. б) Пусть для определенности пересекаются лучи ADи BC. Так как PN||AOи QN||CO, точка Nлежит внутри треугольника OPQ. ПоэтомуSOPQ=SPQN+SPON+SQON=${\frac{S_{PMQN}}{2}}$+${\frac{S_{ACD}}{4}}$+${\frac{S_{BCD}}{4}}$=${\frac{(S_{ABD}-S_{ACD}+S_{ACD}+S_{BCD})}{4}}$=${\frac{S_{ABCD}}{4}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь