Задача
Кривая $\Gamma$делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки Aи Bтак, что прямая ABпроходит через центр Oквадрата.
Решение
Случай, когда точка Oпринадлежит $\Gamma$, очевиден; поэтому будем предполагать, что Oне принадлежит $\Gamma$. Пусть $\Gamma{^\prime}$ — образ кривой $\Gamma$при симметрии относительно точки O. Если кривые $\Gamma$и $\Gamma{^\prime}$не пересекаются, то части, на которые $\Gamma$делит квадрат, не могут быть равной площади. Пусть X — точка пересечения $\Gamma$и $\Gamma{^\prime}$, а точка X'симметрична Xотносительно точки O. Так как при симметрии относительно точки Oкривая $\Gamma{^\prime}$переходит в $\Gamma$, то X'принадлежит $\Gamma$. Поэтому прямая XX'искомая.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь