Задача
Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна tg$\varphi$ . |a2+c2-b2-d2|/4, где a,b,cи d — длины последовательных сторон, $\varphi$ — угол между диагоналями.
Решение
Так как площадь четырехугольника равна (d1d2sin$\varphi$)/2, где d1и d2 — длины диагоналей, то остается проверить, что 2d1d2cos$\varphi$= |a2+c2-b2-d2|. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, $\varphi$=$\angle$AOB. Тогда AB2=AO2+BO2- 2AO . BOcos$\varphi$и BC2=BO2+CO2+ 2BO . COcos$\varphi$. Поэтому AB2-BC2=AO2-CO2- 2BO . ACcos$\varphi$. Аналогично CD2-AD2=CO2-AO2- 2DO . ACcos$\varphi$. Складывая эти равенства, получаем требуемое. Замечание. Так как 16S2= 4d12d22sin2$\varphi$= 4d12d22- (2d1d2cos$\varphi$)2, то 16S2= 4d12d22- (a2+c2-b2-d2)2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь