Задача
а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCDвычисляется по формуле
S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),
где p — полупериметр, a,b,c,d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCDвписанный,
то S2= (p-a)(p-b)(p-c)(p-d).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCDописанный,
то S2=abcdsin2((B+D)/2).
Решение
а) Пусть AB=a,BC=b,CD=cи AD=d. Ясно, чтоS=SABC+SADC= (absin B+cdsin D)/2 иa2+b2- 2abcos B=AC2=c2+d2- 2cdcos D. Поэтому
| 16S2 = 4a2b2 - 4a2b2cos2B + 8abcd sin B sin D + 4c2d2 - 4c2d2cos2D, | |
| (a2 + b2 - c2 - d2)2 + 8abcd cos B cos D = 4a2b2 . cos2B + 4c2d2cos2D. |
Подставляя второе равенство в первое, получаем
16S2 = 4(ab + cd )2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 - 8abcd (1 + cos B cos D - sin B sin D).
Ясно, что 4(ab+cd)2- (a2+b2-c2-d2)2= 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
и 1 + cos Bcos D- sin Bsin D= 2 cos2((B+D)/2).
б) Если ABCD — вписанный четырехугольник, то $\angle$B+$\angle$D= 180o, а значит, cos2((B+D)/2) = 0.
в) Если ABCD — описанный четырехугольник, то a+c=b+d,
поэтому p=a+c=b+dи p-a=c,p-b=d,p-c=a,p-d=b.
Следовательно,S2=abcd(1 - cos2((B+D)/2)) =abcdsin2((B+D)/2).
Если четырехугольник ABCDвписанный и описанный одновременно,
то S2=abcd.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет