Задача
В 2n-угольнике (nнечетно) A1...A2n, описанном около окружности с центром O, диагоналиA1An + 1,A2An + 2,...,An - 1A2n - 1проходят через точку O. Докажите, что и диагональ AnA2nпроходит через точку O.
Решение
Пусть OHi — высота треугольника OAiAi + 1. Тогда $\angle$Hi - 1OAi=$\angle$HiOAi=$\varphi_{i}^{}$. Из условия задачи следует, что $\varphi_{1}^{}$+$\varphi_{2}^{}$=$\varphi_{n+1}^{}$+$\varphi_{n+2}^{}$,$\varphi_{n+2}^{}$+$\varphi_{n+3}^{}$=$\varphi_{2}^{}$+$\varphi_{3}^{}$,$\varphi_{3}^{}$+$\varphi_{4}^{}$=$\varphi_{n+3}^{}$+$\varphi_{n+4}^{}$,...,$\varphi_{n-2}^{}$+$\varphi_{n-1}^{}$=$\varphi_{2n-2}^{}$+$\varphi_{2n-1}^{}$(при записи последнего равенства мы учли, что nнечетно) и $\varphi_{n-1}^{}$+ 2$\varphi_{n}^{}$+$\varphi_{n+1}^{}$=$\varphi_{2n-1}^{}$+ 2$\varphi_{2n}^{}$+$\varphi_{1}^{}$. Складывая все эти равенства, получаем $\varphi_{n-1}^{}$+$\varphi_{n}^{}$=$\varphi_{2n-1}^{}$+$\varphi_{2n}^{}$, что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь