Задача
На плоскости даны две точки Aи B. Найдите ГМТ M, для которых AM:BM=k(окружность Аполлония).
Решение
При k= 1 получаем серединный перпендикуляр к отрезку AB. В дальнейшем будем считать, что k$\ne$1. Введем систему координат на плоскости так, чтобы точки Aи Bимели координаты (-a, 0) и (a, 0) соответственно. Если точка Mимеет координаты (x,y), то ${\frac{AM^2}{BM^2}}$=${\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}}$. Уравнение ${\frac{AM^2}{BM^2}}$=k2приводится к виду
$\displaystyle \left(\vphantom{x+\frac{1+k^2}{1-k^2}a}\right.$x + $\displaystyle {\frac{1+k^2}{1-k^2}}$a$\displaystyle \left.\vphantom{x+\frac{1+k^2}{1-k^2}a}\right)^{2}{}$ + y2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2ka}{1-k^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{2ka}{1-k^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2ka}{1-k^2}}\right)^{2}{}$.
Это уравнение является уравнением окружности с
центром $\left(\vphantom{-\frac{1+k^2}{1-k^2}a,0}\right.$-${\frac{1+k^2}{1-k^2}}$a, 0$\left.\vphantom{-\frac{1+k^2}{1-k^2}a,0}\right)$и
радиусом ${\frac{2ka}{\vert 1-k^2\vert}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет