Задача
Пусть ADи AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABCи Sa — окружность с диаметром DE, окружности Sbи Scопределяются аналогично. Докажите, что: а) окружности Sa,Sbи Scимеют две общие точки Mи N, причем прямая MNпроходит через центр описанной окружности треугольника ABC; б) проекции точки M(и точки N) на стороны треугольника ABCобразуют правильный треугольник.
Решение
а) Рассматриваемые окружности являются окружностями Аполлония для пар вершин треугольника ABC, поэтому если X — общая точка окружностей Saи Sb, то XB:XC=AB:ACи XC:XA=BC:BA, т. е. XB:XA=CB:CA, а значит, точка Xпринадлежит окружности Sc. Ясно также, что если AB>BC, то точка Dлежит внутри окружности Sb, а точка A — вне ее. Следовательно, окружности Saи Sbпересекаются в двух различных точках. Для завершения доказательства остается воспользоваться результатом задачи 7.49. б) Согласно задаче а) MA=$\lambda$/a,MB=$\lambda$/bи MC=$\lambda$/c. Пусть B1и C1 — проекции точки Mна прямые ACи AB. Точки B1и C1лежат на окружности с диаметром MA, поэтому B1C1=MAsin B1AC1= ($\lambda$/a)(a/2R) =$\lambda$/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Аналогично A1C1=A1B1=$\lambda$/(2R).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь