Задача
а) В круг площади Sвписан правильный n-угольник площади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S2. Докажите, что S2>S1S2. б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P1, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P2. Докажите, что L2<P1P2.
Решение
а) Можно считать, что описанный n-угольник A1...Anи вписанныйn-угольник B1...Bnрасположены так, что прямые AiBiпересекаются в центре Oданного круга. Пусть Ciи Di — середины сторон AiAi + 1и BiBi + 1. Тогда SOBiCi=p . OBi . OCi,SOBiDi=p . OBi . ODiи SOAiCi=p . OAi . OCi, где p= (sin AiOCi)/2. Так как OAi:OCi=OBi:ODi, то SOBiCi2=SOBiDiSOAiCi. Остается заметить, что площадь части круга, заключенной внутри угла AiOCi, больше SOBiCi, а площади частей вписанного и описанного n-угольников, заключенных внутри этого угла, равны SOBiDiи SOAiCi. б) Пусть радиус окружности равен R. Тогда P1= 2nRsin($\pi$/n),P2= 2nRtg($\pi$/n) и L= 2$\pi$R. Нужно доказать, что sin xtgx>x2при 0 <x$\leq$$\pi$/3. Так как$\left(\vphantom{\frac{\sin x}{x}}\right.$${\frac{\sin x}{x}}$$\left.\vphantom{\frac{\sin x}{x}}\right)^{2}{}$$\geq$$\left(\vphantom{1-\frac{x^2}{6}}\right.$1 -${\frac{x^2}{6}}$$\left.\vphantom{1-\frac{x^2}{6}}\right)^{2}{}$= 1 -${\frac{x^2}{3}}$+${\frac{x^4}{36}}$и 0 < cos x$\leq$1 -${\frac{x^2}{2}}$+${\frac{x^2}{24}}$(см. приложение в конце главы), остается проверить, что 1 -${\frac{x^2}{3}}$+${\frac{x^4}{36}}$$\geq$1 -${\frac{x^2}{2}}$+${\frac{x^4}{24}}$, т. е. 12x2>x4. При x$\leq$$\pi$/3 это неравенство выполняется.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь