Задача
На сторонах BC,CAи ABтреугольника ABCвзяты точки A1,B1и C1, причем AA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке. Докажите, что SA1B1C1/SABC$\leq$1/4.
Решение
Пусть p=BA1/BC,q=CB1/CAи r=AC1/AC. Тогда SA1B1C1/SABC= 1 -p(1 -r) -q(1 -p) -r(1 -q) = 1 - (p+q+r) + (pq+qr+rp). По теореме Чевы (задача 5.70) pqr= (1 -p)(1 -q)(1 -r), т. е. 2pqr= 1 - (p+q+r) + (pq+qr+rp); кроме того, (pqr)2=p(1 -p)q(1 -q)r(1 -r)$\leq$(1/4)3. Следовательно, SA1B1C1/SABC= 2pqr$\leq$${\frac{1}{4}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет