Решение 1:Построим на стороне AC равносторонний треугольник ANC (см. рис.).

Поскольку  AB = AC = AN,  треугольникBANравнобедренный, и  ∠ABN= ½ (180° – 20°) = 80°.  Поэтому  ∠CBN= 80° – 50° = 30°,  и треугольникиBCMиBCNравны по общей стороне и двум углам. Значит, и треугольникACMравнобедренный, а  ∠AMC= ½ (180° – 40°) = 70°.

Решение 2:Из треугольника BMC по теореме синусов получаем     Значит, треугольник ACM равнобедренный, и  ∠AMC = ½ (180° – 40°) = 70°.

Решение 3:Пусть A₀...A₁₇ – правильный восемнадцатиугольник. В качестве треугольника ABC можно взять треугольник A₅A₀A₁₀. Согласно задаче 157072 а) диагонали A₀A₇, A₅A₁₇ и A₁A₁₀ пересекаются в одной точке. Это и есть точка M. Поэтому  ∠AMC = ½ ( A₁₇A₁ + A₅A₁₀) = 70°.   Замечание. Ср. с зад. 177963, где используется пересечение тех же диагоналей.

70°.