Олимпиадная задача по геометрии: касательная и равнобедренный треуголь
Задача
Окружность Sс центром Oна основании BCравнобедренного треугольника ABCкасается равных сторон ABи AC. На сторонах ABи ACвзяты точки Pи Qтак, что отрезок PQкасается окружности S. Докажите, что тогда 4PB . CQ=BC2.
Решение
Пусть D,Eи F — точки касания окружности с BP,PQи QC; $\angle$BOD= 90o-$\angle$B= 90o-$\angle$C=$\angle$COF=$\alpha$, $\angle$DOP=$\angle$POE=$\beta$и $\angle$EOQ=$\angle$QOF=$\gamma$. Тогда 180o=$\angle$BOC= 2$\alpha$+ 2$\beta$+ 2$\gamma$, т. е. $\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 90o. Так как $\angle$BPO=$\angle$DPE/2 = (180o-$\angle$DOE)/2 = 90o-$\beta$и $\angle$QOC=$\gamma$+$\alpha$= 90o-$\beta$, то $\angle$BPO=$\angle$COQ. Ясно также, что $\angle$PBO=$\angle$OCQ. Поэтому $\triangle$BPO$\sim$$\triangle$COQ, т. е. PB . CQ=BO . CO=BC2/4.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь