Задача
Пусть O — центр описанной окружности треугольникаABC, а точка Hобладает тем свойством, что$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольникаABC.
Решение
Докажем, чтоAH$\perp$BC.$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$и $\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{OC}$= -$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$, поэтому($\overrightarrow{AH}$,$\overrightarrow{BC}$) =OC2-OB2=R2-R2= 0, так как O — центр описанной окружности. Аналогично доказывается, чтоBH$\perp$ACи CH$\perp$AB.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь