Задача
ПустьA1...An— правильныйn-угольник,X— произвольная точка. Рассмотрим проекцииX1, ...,XnточкиXна прямыеA1A2, ...,AnA1. Пустьxi— длина отрезкаAiXiс учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучиAiXiиAiAi + 1сонаправлены). Докажите, что суммаx1+ ... +xnравна половине периметра многоугольникаA1...An.
Решение
Достаточно рассмотреть случай, когда длины сторон многоугольникаA1...Anравны 1. В этом случаеxi= ($\overrightarrow{A_iX}$,$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$). ПустьO— центр правильного многоугольникаA1...An. Тогда
| $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$xi | = $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$($\displaystyle \overrightarrow{A_iO}$,$\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$) + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{OX},\sum_{i=1}^n\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{OX}$,$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$$\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{OX},\sum_{i=1}^n\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}\right)$ = | |
| = $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$($\displaystyle \overrightarrow{A_iO}$,$\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$), |
поскольку$\sum_{i=1}^{n}$$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$=$\overrightarrow{0}$для любого многоугольника. Остаётся заметить, что($\overrightarrow{A_iO}$,$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$) = 1/2 для всехi.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет