Пустьn₁,...,n_k — единичные внешние нормали к сторонам, a M₁,...,M_k — произвольные точки на этих сторонах. Для любой точки X, лежащей внутри многоугольника, расстояние доi-й стороны равно($\overrightarrow{XM_i}$,n_i). Поэтому суммы расстояний от внутренних точек Aи Bдо сторон многоугольника равны тогда и только тогда, когда$\sum\limits_{i=1}^{k}$($\overrightarrow{AM_i}$,n_i) =$\sum\limits_{i=1}^{k}$($\overrightarrow{BM_i}$,n_i) =$\sum\limits_{i=1}^{k}$($\overrightarrow{BA}$,n_i) +$\sum\limits_{i=1}^{k}$($\overrightarrow{AM_i}$,n_i), т. е.$\Bigl($$\overrightarrow{BA}$,$\sum\limits_{i=1}^{n}$n_i$\Bigr)$= 0. Следовательно, сумма расстояний от любой внутренней точки многоугольника до сторон постоянна тогда и только тогда, когда$\sum$n_i= 0.

Ответ задачи отсутствует