Введем систему координатOxy. Пусть l_{$\scriptstyle \varphi$} — прямая, проходящая через точку Oи образующая угол $\varphi$(0 <$\varphi$<$\pi$) с осью Ox, т. е. если точка Aлежит на l_{$\scriptstyle \varphi$}и вторая координата точки Aположительна, то$\angle$AOX=$\varphi$;l₀=l_{$\scriptstyle \pi$}=Ox. Если вектор aобразует угол $\alpha$с осью Ox(угол отсчитывается против часовой стрелки от оси Oxк вектору a), то длина проекции вектора aна прямую l_{$\scriptstyle \varphi$}равна|a| ^. | cos($\varphi$-$\alpha$)|. Интеграл$\int_{0}^{\pi}$|a| ^. | cos($\varphi$-$\alpha$)| d$\varphi$= 2|a| не зависит от $\alpha$. Пусть векторыa₁,...,a_n,b₁,...,b_mобразуют с осью Oxуглы$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$,$\beta_{1}^{}$,...,$\beta_{m}^{}$. Тогда по условию|a₁| ^. | cos($\varphi$-$\alpha_{1}^{}$)| +...+ |a_n| ^. | cos($\varphi$-$\alpha_{n}^{}$)|$\le$|b₁| ^. | cos($\varphi$-$\beta_{1}^{}$)| +...+ |b_m| ^. | cos($\varphi$-$\beta_{m}^{}$)| для любого угла $\varphi$. Интегрируя эти неравенства по $\varphi$от 0 до $\pi$, получаем|a₁| +...+ |a_n|$\le$|b₁| +...+ |b_m|. Замечание. Величину${\frac{1}{b-a}}$$\int\limits_{a}^{b}$f(x) dxназываютсредним значениемфункции fна отрезке [a,b]. Равенство

означает, что среднее значение длины проекции вектора aравно2|a|/$\pi$, точнее говоря, среднее значение функцииf($\varphi$), равной длине проекции вектора aна прямую l_{$\scriptstyle \varphi$}, на отрезке [0,$\pi$] равно2|a|/$\pi$.

Ответ задачи отсутствует