Задача
а) Вписанная окружность треугольникаABCкасается стороныACв точке D,DM — ее диаметр. ПрямаяBMпересекает сторонуACв точке K. Докажите, чтоAK=DC. б) В окружности проведены перпендикулярные диаметрыABи CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямуюABв точках Eи H, а также прямыеMCи MD, пересекающие прямуюABв точках Fи K. Докажите, чтоEF=KH.
Решение
а) При гомотетии с центром B, переводящей вписанную окружность во вневписанную окружность, касающуюся стороныAC, точка Mпереходит в некоторую точку M'. Точка M'является концом диаметра, перпендикулярного прямойAC, поэтому M'является точкой касания вписанной окружности со сторонойAC, а значит, и точкой пересечения прямойBMсо сторонойAC. ПоэтомуK=M'и точка Kявляется точкой касания вневписанной окружности со сторонойAC. Теперь легко вычислить, чтоAK= (a+b-c)/2 =CD, где a,bи c — длины сторон треугольникаABC. б) Рассмотрим гомотетию с центром M, переводящую прямуюEHв прямую, касающуюся данной окружности. При этой гомотетии точки E,F,Kи Hпереходят в точки E',F',K'и H'. Согласно задаче a)E'F'=K'H', поэтомуEF=KH.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь