Задание олимпиады по планиметрии: две карты и одна точка прокола (9 кл
Задача
На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.
Решение
Исходная карта является прямоугольником K0на плоскости, меньшая карта — прямоугольником K1, содержащимся в K0. Рассмотрим поворотную гомотетию f, отображающую прямоугольник K0на K1. ПустьKi + 1=f(Ki). Так как последовательность Kiявляется стягивающейся последовательностью вложенных многоугольников, существует единственная точка X, принадлежащая всем прямоугольникам Ki. Докажем, что X — искомая точка, т. е.f(X) =X. В самом деле, так как точка Xпринадлежит Ki, то точкаf(X) принадлежит Ki + 1, т. е. точкаf(X) также принадлежит всем прямоугольникам Ki. Поскольку имеется только одна точка, принадлежащая всем прямоугольникам, тоf(X) =X.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь