Задача
На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.
Решение
Исходная карта является прямоугольником K0на плоскости, меньшая карта — прямоугольником K1, содержащимся в K0. Рассмотрим поворотную гомотетию f, отображающую прямоугольник K0на K1. ПустьKi + 1=f(Ki). Так как последовательность Kiявляется стягивающейся последовательностью вложенных многоугольников, существует единственная точка X, принадлежащая всем прямоугольникам Ki. Докажем, что X — искомая точка, т. е.f(X) =X. В самом деле, так как точка Xпринадлежит Ki, то точкаf(X) принадлежит Ki + 1, т. е. точкаf(X) также принадлежит всем прямоугольникам Ki. Поскольку имеется только одна точка, принадлежащая всем прямоугольникам, тоf(X) =X.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь