Задача
а) Пусть P — точка пересечения прямыхABи A1B1. Докажите, что если среди точек A,B,A1,B1и Pнет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольниковPAA1и PBB1является центром поворотной гомотетии, переводящей точку Aв A1, а точку Bв B1, причем такая поворотная гомотетия единственна. б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезокABв отрезокBC, является точка пересечения окружности, проходящей через точку Aи касающейся прямойBCв точке B, и окружности, проходящей через точку Cи касающейся прямойABв точке B.
Решение
а) Если O — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезокABв отрезокA1B1, то
$\displaystyle \angle$(PA, AO) = $\displaystyle \angle$(PA1, A1O) и $\displaystyle \angle$(PB, BO) = $\displaystyle \angle$(PB1, B1O),
а значит, точка Oявляется точкой пересечения описанных окружностей
треугольниковPAA1и PBB1. Случай, когда эти окружности
имеют единственную общую точку P, очевиден: отрезокABпереходит
в отрезокA1B1при гомотетии с центром P. Если Pи O —
две точки пересечения рассматриваемых окружностей, то из равенств (1)
следует, что$\triangle$OAB$\sim$$\triangle$OA1B1, а значит,O —
центр поворотной гомотетии, переводящей отрезокABв отрезокA1B1.
б) Достаточно заметить, что точка Oявляется центром поворотной
гомотетии, переводящей отрезокABв отрезокBC, тогда
и только тогда, когда$\angle$(BA,AO) =$\angle$(CB,BO) и $\angle$(AB,BO) =$\angle$(BC,CO).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет