Задача
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Решение
Данные прямые не могут пересекать соседние стороны квадратаABCD, так как иначе образуются не два четырехугольника, а треугольник и пятиугольник. Пусть прямая пересекает стороныBCи ADв точках Mи N. ТрапецииABMNи CDNMимеют равные высоты, поэтому их площади относятся как средние линии, т. е.MNделит отрезок, соединяющий середины сторонABи CD, в отношении 2 : 3. Точек, делящих средние линии квадрата в отношении 2 : 3, имеется ровно четыре. Так как данные девять прямых проходят через эти четыре точки, то через одну из точек проходят по крайней мере три прямые.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь