Проведём через каждую вершину многоугольникаMпрямую, перпендикулярную прямойl. Эти прямые разрезают многоугольник на трапеции (некоторые из трапеций могут вырождаться в треугольники). При симметризации по Штейнеру каждая такая трапеция заменяется на равнобочную трапецию с теми же основаниями и той же высотой. Ясно, что при такой замене площадь трапеции не изменяется. Остаётся проверить, что периметр не увеличивается. При этом достаточно рассмотреть случай, когда трапеция вырождается в треугольник. Действительно, еслиABCD— трапеция с основаниямиABиCD, гдеAB$\le$CD, то от неё можно отрезать параллелограммABCD'. Итак, пустьABC— треугольник, у которого сторонаABфиксирована, а вершинаCдвижется по прямойm, параллельнойAB. Пусть точкаB'симметрична точкеBотносительно прямойm. ТогдаAC+CB=AC+CB'$\ge$AB'. Равенство достигается тогда и только тогда, когдаAC=CB.

Ответ задачи отсутствует