Задача
На плоскости расположеноn$\ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
Решение
Пусть A — общая точка первых трех окружностей S1,S2и S3. Обозначим точки пересечения окружностей S1и S2,S2и S3,S3и S1через B,C,Dсоответственно. Предположим, что существует окружность S, не проходящая через точку A. Тогда окружность Sпроходит через точки B,Cи D. Пусть S' — пятая окружность. Каждая пара точек из набора A,B,C,Dявляется парой точек пересечения двух из окружностей S1,S2,S3,S. Поэтому окружность S'проходит через одну точку из каждой пары точек A,B,C,D. С другой стороны, окружность S'не может проходить через три точки из A,B,C,D, поскольку каждая тройка этих точек задает одну из окружностей S1,S2,S3,S. Поэтому окружность S'не проходит через какие-то две из этих точек. Получено противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь