Задача
Через точку Aпроведена прямая l, пересекающая окружность Sс центром Oв точках Mи Nи не проходящая через O. Пусть M'и N' — точки, симметричные Mи NотносительноOA, а A' — точка пересечения прямыхMN'и M'N. Докажите, что A'совпадает с образом точки Aпри инверсии относительно S(и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).
Решение
Пусть точка Aлежит вне S, тогда A'лежит внутри Sи$\angle$MA'N= ($\smile$MN+$\smile$M'N')/2 =$\smile$MN=$\angle$MON, т. е. четырехугольникMNOA'вписанный. Но при инверсии относительно SпрямаяMNперейдет в окружность, проходящую через точки M,N,O(задача 28.2). Поэтому точка A(образ Aпри инверсии) лежит на описанной окружности четырехугольникаMNOA'. По тем же причинам точки A'и Aпринадлежат и окружности, проходящей через M',N'и O. Но эти две окружности не могут иметь других общих точек, кроме Oи A'. Следовательно,A=A'. В случае, когда Aлежит внутри S, применим уже доказанное к прямойMN'и точке A'(она находится вне S). Получим, чтоA= (A'). Но тогдаA'=A*.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь