Задача
Докажите, что еслиa,b,cиd — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольникаABCD, аmиn — длины его диагоналей, тоm2n2=a2c2+b2d2- 2abcdcos(A+C) (Бретшнейдер).
Решение
Докажем сначала, что еслиu,v,w,z — комплексные числа, причемu+v+w+z= 0, то
| uw - vz|2 = | u + v|2| v + w|2.
В самом деле,
| uw - vz| = | uw + v(u + v + w)| = | u + v| . | v + w|.
Пусть комплексные числаu,v,w,zсоответствуют векторам$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{DA}$. Тогда|u+v|2|v+w|2=m2n2и
| uw - vz|2 = (uw - vz)($\displaystyle \bar{u}$$\displaystyle \bar{w}$ - $\displaystyle \bar{v}$$\displaystyle \bar{z}$) = | uw|2 + | vz|2 - (uw$\displaystyle \bar{v}$$\displaystyle \bar{z}$ - $\displaystyle \bar{u}$$\displaystyle \bar{w}$vz).
Так как|uw|2=a2c2и|vz|2=b2d2, то остается доказать, что
uw$\displaystyle \bar{v}$$\displaystyle \bar{z}$ - $\displaystyle \bar{u}$$\displaystyle \bar{w}$vz = 2abcd cos(A + C).
Для этого достаточно проверить, что аргумент числаuw$\bar{v}$$\bar{z}$равен±($\angle$A+$\angle$C). Остается заметить, что аргумент числаu$\bar{v}$(соответственноw$\bar{z}$) равен±$\varphi$, где$\varphi$ — угол между
векторамиuиv(соответственноwиz).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет