Задача
а) Даны прямые a,b,c,d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A,B,C,D — точки пересечения прямой lс прямыми a,b,c,dсоответственно. Докажите, что(abcd)= (ABCD). б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.
Решение
а) Обозначим точку пересечения четырех данных прямых через O; пусть H — проекция этой точки на прямую lи h=OH. Тогда
| 2SOAC = OA . OC sin(a, c) = h . AC, | ||
| 2SOBC = OB . OC sin(b, c) = h . BC, | ||
| 2SOAD = OA . OD sin(a, d )= h . AD, | ||
| 2SOBD = OB . OD sin(b, d )= h . BD. |
Поделив первое равенство на второе, а третье — на четвертое, получаем
$\displaystyle {\frac{OA\sin(a,c)}{OB\sin(b,c)}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$, $\displaystyle {\frac{OA\sin(a,d)}{OB\sin(b,d)}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{BD}}$.
Деля получившиеся равенства, получаем|(ABCD)| = |(abcd)|. Для
доказательства того, что числа (ABCD) и (abcd) имеют одинаковый
знак, можно, например, выписать все возможные способы расположения
точек на прямой (24 способа), и в каждом случае
убедиться в том, что (ABCD) положительно тогда и только тогда,
когда пара прямых a,bне разделяет пару прямых c,d.
б) является непосредственным следствием задачи а).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет