Задача
а) Докажите, что проективное преобразование Pплоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным. б) Докажите, что если точки A,B,C,Dлежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования Pплоскости $\alpha$, тоP(A)P(B) :P(C)P(D) =AB:CD. в) Докажите, что если проективное преобразование Pпереводит параллельные прямые l1и l2в параллельные прямые, то либо Pаффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l1и l2. г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что Pпроективно.
Решение
а) Из задачи 30.13, в) следует, что если наряду с обычными точками рассматривать бесконечно удаленные, то преобразование Pвзаимно однозначно. При этом бесконечно удаленная прямая отображается на бесконечно удаленную прямую. Поэтому множество конечных точек тоже взаимно однозначно отображается на множество конечных точек. А поскольку прямые при отображении Pпереводятся в прямые, то Pаффинно. б) Обозначим через lпрямую, на которой лежат точки A,B,CD, а через l0 — исключительную прямую преобразования P. Возьмем произвольную точку Oвне плоскости $\alpha$и рассмотрим плоскость $\beta$, которая проходит через прямую lи параллельна плоскости, проходящей через прямую l0и точку O. Пусть Q — композиция центрального проектирования плоскости $\alpha$на плоскость $\beta$с центром Oи последующего поворота пространства вокруг оси l, переводящего плоскость $\beta$в плоскость $\alpha$. Исключительной прямой преобразования Qявляется прямая l0. Поэтому проективное преобразованиеR=PoQ-1плоскости $\alpha$переводит бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую и согласно задаче а) является аффинным, в частности, сохраняет отношения отрезков, лежащих на прямой l. Остается заметить, что преобразование Qоставляет точки прямой lнеподвижными. в) То, что параллельные прямые l1и l2переходят в параллельные, означает, что бесконечно удаленная точка Aэтих прямых переходит в бесконечно удаленную точку, т. е. Aлежит на прообразе lбесконечно удаленной прямой. Следовательно, либо l — бесконечно удаленная прямая, и тогда согласно задаче а) преобразование Pаффинно, либо прямая lпараллельна прямым l1и l2. г) Обозначим через l$\scriptstyle \infty$бесконечно удаленную прямую. ЕслиP(l$\scriptstyle \infty$) =l$\scriptstyle \infty$, то Pзадает взаимно однозначное преобразование плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую, и, значит, по определению является аффинным. В противном случае обозначимP(l$\scriptstyle \infty$) через aи рассмотрим произвольное проективное преобразование Q, исключительной прямой которого является a. ОбозначимQoPчерез R. ТогдаR(l$\scriptstyle \infty$) =l$\scriptstyle \infty$, и, значит, как было показано выше,Rаффинно. Следовательно,P=Q-1oRпроективно.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь