Задача
На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.
Решение
Рассмотрим на координатной плоскостиOxzточкиO(0, 0),N(0, 1),E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на дугеNEединичной окружности, обозначим через Pпересечение отрезкаEMс прямойz= 1. Ясно, что двигая точку Mпо дугеNE, мы можем сделать отношениеEM:MPравным произвольному числу. Поэтому преобразованием подобия данную окружность Sможно перевести в окружность S1, построенную на отрезкеEMкак на диаметре в плоскости $\alpha$, перпендикулярнойOxz, так, чтобы данная прямая lперешла в прямую, проходящую через PперпендикулярноOxz. Окружность S1лежит на единичной сфере с центром в начале координат, следовательно, при стереографической проекции она проецируется в окружность S2на плоскостиOxy. Таким образом, при центральном проектировании плоскости $\alpha$на плоскостьOxyиз Nокружность S1перейдет в S2, а прямая l — в бесконечно удаленную.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь