Задача
Точки Aи Bлежат на прямых aи bсоответственно, а точка Pне лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через Pпрямую, пересекающую прямые aи bв точках Xи Yсоответственно таких, что длины отрезковAXи BYимеют а) данное отношение; б) данное произведение.
Решение
а) Обозначим через kчисло, которому должно равняться отношениеAX/BY. Рассмотрим проективное преобразование прямой a, являющееся композицией проецирования прямой aна прямую bиз точки P, движения плоскости, переводящего bв aи Bв A, и, наконец, гомотетии с центром Aи коэффициентом k. Искомая точка Xявляется неподвижной точкой этого преобразования. Построение точки Yочевидно. б) Обозначим через kчисло, которому должно равняться произведениеAX . BY, через Q — точку пересечения прямых, проходящих через точки Aи Bпараллельно прямым bи aсоответственно, и пустьp=AQ . BQ. Рассмотрим проективное преобразование прямой a, являющееся композицией проецирования прямой aна прямую bиз точки P, проецирования bна aиз Q, и гомотетии с центром Aи коэффициентомk/p. Пусть X — неподвижная точка этого преобразования,Y — ее образ при первом проецировании, а X1 — образ Yпри втором проецировании. Докажем, что прямаяXYискомая. Действительно, из подобия треугольниковAQX1и BYQследует
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь