Задача
а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности. б) Пустьd1иd2— расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величинаd1d2не зависит от выбора касательной.
Решение
ПустьO— центр эллипса,P1иP2-- проекции фокусовF1иF2на касательную,A— точка касания. Тогда$\angle$P1AF1=$\angle$P2AF2=$\varphi$. Положимx=F1A, y=F2A. Величинаx+y=cне зависит от точки A. Поэтому
P1O2 = P2O2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+y}{2}\cos\varphi}\right.$$\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$cos$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+y}{2}\cos\varphi}\right)^{2}{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x+y}{2}\sin\varphi}\right.$$\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$sin$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x+y}{2}\sin\varphi}\right)^{2}{}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{4}}$.
Кроме того,F1F22=x2+y2+ 2xycos 2$\varphi$=c2- 4xysin2$\varphi$,
поэтому величинаxysin2$\varphi$=d1d2постоянна.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет