Задача
Окружность радиуса2$\sqrt{x_0^2+x_0^{-2}}$с центром(x0,x0-1) пересекает гиперболуxy= 1 в точке(-x0, -x0-1) и в точкахA,B,C. Докажите, что треугольникABCравносторонний.
Решение
ПустьA= (a,a-1),B= (b,b-1),C= (c,c-1). Тогда приx= -x0,a,b,cполучаем
(x0 - x)2 + (x0-1 - x-1)2 = 4x02 + 4x0-2.
Таким образом, числа-x0,a,b,cявляются корнями многочлена вида
x4 - 2x0x3 + ... .
Поэтому-x0+a+b+c= 2x0, т. е.a+b+c= 3x0. Аналогичноa-1+b-1+c-1= 3x0-1. Следовательно, точка(x0,x0-1) служит не только центром описанной окружности
треугольникаABC, но и его центром масс. Это возможно лишь в том
случае, когда треугольникABCравносторонний.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет